证明：RT三角形ABC中,角C=90度,则内切圆半径R=1/2（a+b-c)

Question

证明：RT三角形ABC中,角C=90度,则内切圆半径R=1/2（a+b-c)

Answer 1

设圆心为O.画出图来后可以看出：
1）
S△AOC+S△COB+S△BOC=S△ABC
0.5r*b+0.5r*c+0.5r*c=0.5b*c
r(a+b+c)=a*b
所以r=a*b（a+b+c)
2）设圆与AC、BC、AB的切点为D、E、F
在△AOD与△AFO中都为直角△,有公共边AO、一个直角边都为r,所以另外两个直角边AD、AF用勾股定理可证明：AD=AF
同理BE=BF
∵AD+r=AC=b
∴AD=b-r
∵BE+r=BC=a
∴BE=a-r
BF+FA=AB=c=AD+BE=b+a-2r
∴2r=a+b-c
∴r=1/2(a+b-c）