三棱锥A-BCD各棱长都为1,且M、N分别是AB、CD的中点,(1)求MN和BD所成角(2)求该三棱锥体积与它的内切球...三棱锥A-BCD各棱长都为1,且M、N分别是AB、CD的中点,(1)求MN和BD所成角(2)求该三棱锥体积与它

Question

三棱锥A-BCD各棱长都为1,且M、N分别是AB、CD的中点,(1)求MN和BD所成角(2)求该三棱锥体积与它的内切球...
三棱锥A-BCD各棱长都为1,且M、N分别是AB、CD的中点,(1)求MN和BD所成角(2)求该三棱锥体积与它的内切球体积之比 图形我手机不能画.这图很简单的

Answer 1

(1)
取BD的中点E,连AE\CE
因为是正三角形,中线垂直底边
BD垂直AE
BD垂直CE
所以BD垂直平面ACE
BD垂直AC
取BC中点P,连MP,NP
MP//AC,且等于AC的一半
NP//BD,且等于BD的一半
MNP为等腰直角三角形
MN与NP成45度
MN与BD成45度角.
(2)
设内切球球心为O,半径为r.三角形BCD的中心为G
V(A-BCD)=V(O-ABC)+V(O-ABD)+V(O-ACD)+V(O-BCD)
V(A-BCD)=4*V(O-BCD)
h=4r
BG=(2/3)*(根3/2)=根3/3
h=根号(AB方-BG方)=(根6)/3
r=(根6)/12
V1=(1/2)*1*(根3/2)*h*1/3=(根2)/12
V2=(4/3)*兀*r^3=(根6)*兀/216
V1/V2=6(根3)/兀