如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=35，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的

Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=(3)/(5)，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．
（1）当CM=2时，求线段CD的长；
（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．

Answer 1

（1）如图1中，作OH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB=(3)/(5)，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=OB，OH∥AC，
∴CH=HB=4，OH=3，
∵CM=2，
∴CM=HM=2，
在△DCM和△OHM中，

∠CMD=∠OMH

∠DCM=∠OHM=90°

CM=MH

，
∴△DCM≌△OHM，
∴CD=OH=3．

（2）如图2中，作NG⊥OB于G．

∵∠HOB=∠A=∠MON，
∴∠1=∠2，
在Rt△BNG中，BN=y，sibB=(3)/(5)，
∴GN=(3)/(5)y，BG=(4)/(5)y，
∵tan∠1=tan∠2，
∴(MH)/(OH)=(NG)/(OG)，
∴(4-x)/(3)=((3)/(5)y)/(5-(4)/(5)y)，
∴y=(100-25x)/(25-4x)，（0<x<4）．

（3）①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，

∴BN=CM=x，
∵△OMH≌△ONG，
∴NG=HM=4-x，
∵sinB=(3)/(5)，
∴(4-x)/(x)=(3)/(5)，
∴CM=x=(5)/(2)．

②如图4中，当OM=MN时．连接CO，

∵OA=OB，OM=MN，
∴CO=OA=OB，
∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，
∴△MON∽△OAC，
∴∠AOC=∠OMN，
∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，
∴△CMO∽△COB，
∴(CO)/(CB)=(CM)/(CO)，
∴8x=5²，
∴x=(25)/(8)．
综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为(5)/(2)或(25)/(8)．