已知AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线,M为DE中点,求证AB^2/AC^2=BM/CM

Question

已知AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线,M为DE中点,求证AB^2/AC^2=BM/CM

Answer 1

证明：如图：连AM,

 

因为,AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线

所以,∠DAE=90°

又因为,M为DE中点,

所以,AM=(1/2)*DE=DM

 所以,∠MDA=∠MAD=∠2+∠3

  又因为,∠MDA=∠1+∠B

   所以,∠1+∠B=∠2+∠3

   因为,∠1=∠2

 所以,∠B=∠3

 又因为,∠BMA=∠AMC

 所以,△BMA∽△AMC

 所以,AB/AC=AM/CM=BM/AM

 所以,AB^2/AC^2=AM^2/CM^2------------(1) 

    由   AM/CM=BM/AM

   得：AM^2=BM*CM-------------(2) 

  将（2）代入（1）得：AB^2/AC^2=(BM*CM)/CM^2=BM/CM

  即：AB^2/AC^2=BM/CM