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如图1,点O是边长为1的等边△ABC内的任一点,设∠AOB=α°,∠BOC=β°(1)将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC,连结OD,如图2所示.求证:OD=OC.(2)在(1)的基础上,将△ABC绕点C沿顺
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如图1,点O是边长为1的等边△ABC内的任一点,设∠AOB=α°,∠BOC=β°
(1)将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC,连结OD,如图2所示.求证:OD=OC.
(2)在(1)的基础上,将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,连结DE,如图3所示.求证:OA=DE
(3)在(2)的基础上,当α、β满足什么关系时,点B、O、D、E在同一直线上.并直接写出AO+BO+CO的最小值.
(1)将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC,连结OD,如图2所示.求证:OD=OC.
(2)在(1)的基础上,将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,连结DE,如图3所示.求证:OA=DE
(3)在(2)的基础上,当α、β满足什么关系时,点B、O、D、E在同一直线上.并直接写出AO+BO+CO的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴CO=CD,∠DOC=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴DO=CO;
(2)∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC,△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,
∴△ADC≌△BOC,△EAC≌△ABC,
∴AD=BO,∠DAC=∠OBC,EA=AB,∠EAC=∠ABC,
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC,
即∠DAE=∠OBA,
在△EAD和△ABO中,
,
∴△EAD≌△ABO,
∴OA=DE;
(3)∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,
∴AB=BC=CE=AE,
∴四边形ABCE是菱形.
∵B、O、D、E在同一直线上,
∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线上的点,
∴∠ABO=30°.
∵△ADC≌△BOC,△EAC≌△ABC,
∴∠ADC=∠BOC=β,∠ADE=∠AOB=α,
∴∠CDE=360°-α-β.
∵△COD是正三角形,
∴∠COD=∠CDO=60°.
∵点B、O、D、E在同一直线上,
∴∠BOC=∠CDE=120°,
∴∠ADC=120°,
∴∠ADE=120°,
∴α=β=120°.
∴∠BAO=30°.
∴∠BAO=∠ABO,
∴AO=BO,
同理可得:AO=CO.
∴AO=BO=CO.
作OF⊥AB于F,设BF=a,则BO=2a,
∴∠BFO=90°,BF=
AB=
,
在Rt△BOF中,由勾股定理,得
a=
,
∴BO=
,
∴AO+BO+CO=
,
即AO+BO+CO的最小值为
.
∴CO=CD,∠DOC=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴DO=CO;
(2)∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC,△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,
∴△ADC≌△BOC,△EAC≌△ABC,
∴AD=BO,∠DAC=∠OBC,EA=AB,∠EAC=∠ABC,
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC,
即∠DAE=∠OBA,
在△EAD和△ABO中,
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∴△EAD≌△ABO,
∴OA=DE;
(3)∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC,
∴AB=BC=CE=AE,
∴四边形ABCE是菱形.
∵B、O、D、E在同一直线上,
∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线上的点,
∴∠ABO=30°.
∵△ADC≌△BOC,△EAC≌△ABC,
∴∠ADC=∠BOC=β,∠ADE=∠AOB=α,
∴∠CDE=360°-α-β.
∵△COD是正三角形,
∴∠COD=∠CDO=60°.
∵点B、O、D、E在同一直线上,
∴∠BOC=∠CDE=120°,
∴∠ADC=120°,
∴∠ADE=120°,
∴α=β=120°.
∴∠BAO=30°.
∴∠BAO=∠ABO,
∴AO=BO,
同理可得:AO=CO.
∴AO=BO=CO.
作OF⊥AB于F,设BF=a,则BO=2a,
∴∠BFO=90°,BF=
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在Rt△BOF中,由勾股定理,得
a=
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∴BO=
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∴AO+BO+CO=
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即AO+BO+CO的最小值为
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