轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．

Question

轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．

Answer 1

如图所示，作出轴截面，
∵△ABC是正三角形，
∴CD=(1)/(2)AC=2，
∴AC=4，AD=(√(3))/(2)×4=2√(3)；
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴(OE)/(AO)=(CD)/(AC)．
设OE=R，则AO=2√(3)-R，
∴(R)/(2√(3)−R)=(1)/(2)，
∴R=(2√(3))/(3)．
∴V_球=(4)/(3)πR³=(4)/(3)π•((2√(3))/(3))3=(32√(3)π)/(27)．
∴球的体积等于(32√(3)π)/(27)．