设函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2-lnx（a，b∈R），已知它们在x=1处的切线互相平行．（1）求b的值；（2）若函数F(x)＝f(x)，x≤0g(x)，x＞0，且方程F（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²-lnx（a，b∈R），已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）若函数F(x)＝

f(x)，x≤0

g(x)，x＞0

，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3ax²-3a，∴f′（1）=0．∵g′（x）=2bx-(1)/(x)，∴g′（1）=2b-1．
根据题意得 2b-1=0，∴b=(1)/(2)．
（2）x∈（0，1）时，g′（x）=x-(1)/(x)＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）=x-(1)/(x)＞0，
所以，当 x=1时，g（x）取极小值 g（1）=(1)/(2)．
因为a＞0，x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，x∈（-1，0）时f′（x）＜0，所以x=-1时，f（x）取得极大值
f（-1）=2a，又f（0）=0，所以F（x）的图象如下：

从图象看出，若方程F（x）=a²有四个解，则 (1)/(2)＜a²＜2a，解得  (√(2))/(2)＜a＜2，
所以，实数a的取值范围是 （(√(2))/(2)，2）．