已知直线l的参数方程是x＝2ty＝4t+a（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=42cos（θ+π4）．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为2，求实

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已知直线l的参数方程是

x＝2t

y＝4t+a

（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4

cos（θ+

）．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为

，求实数a的值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=4

cos（θ+

）展开得ρ=4cosθ-4sinθ，变为ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
化为直角坐标系方程x²+y²=4x-4y，
∴圆C的直角坐标系方程为x²+y²=4x-4y；
（Ⅱ）直线l的参数方程是

x＝2t

y＝4t+a

（t为参数），

消去参数化为y=2x+a．
由（1）可知：圆C的方程为（x-2）²+（y+2）²=8，
∴圆心C（2，-2），半径r=2

．
如图所示：
∵圆C上有且仅有三个点到直线l距离为

，半径r=2

．
∴当圆心C到直线l的距离为

时，与直线l平行的直径与圆的两个交点满足条件，另外与直线l平行且与圆相切的切线的切点也满足条件，因此圆C上共有三个点到直线l的距离等于

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