角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ.tanθ＜0

Question

角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ.tanθ＜0

Answer 1

证明：由已知,如果sinθtanθ <0,即sin2θ/cosθ< 0,所以有sinθ ≠ 0,而且cosθ < 0,所以θ在第二象限或者第三象限.
另外：
如果θ在第二象限时：sinθ > 0而且tanθ < 0,相乘可得sinθtanθ< 0 ；
如果θ在第三象限时：sinθ < 0而且tanθ > 0,相乘可得sinθtanθ< 0 ；
综上,如果θ在第二象限,或者第三象限时,sinθtanθ< 0 ；
综上所述,原命题得证.