关于C是f(x)的重根的条件当且仅当C是f（x）与f‘（x）的公共根时,证明C是f（x）的重根.

Question

关于C是f(x)的重根的条件
当且仅当C是f（x）与f ‘（x）的公共根时,证明C是f（x）的重根.

Answer 1

重根是对于代数方程（即多项式方程）来说的.
如果方程f(x)有m重根C,则f(x)=(x-c)^m g(x),m>1
则有f'(x)=m(x-c)^(m-1) g(x)+(x-c)^m g'(x)
因此有：f'(c)=0
所以C为f（x）与f ‘（x）的公共根.
反过来,如果C为f（x）与f ‘（x）的公共根,
假设C不为f(x)的重根,则有：f(x)=(x-c)g(x),这里g(c)0
由f'(x)=g(x)+(x-c)g'(x)
得f'(c)=g(c)0,与条件矛盾.
因此C必为重根.
综上,结论成立.