总薄铁皮做成一个容积为Vo的有盖长方匣,其底为正方形,由于底面无需喷漆,故故单位面积成本仅为其余各面积的一半,问长方匣的底面边长为多少时,才能使匣子的造价最低?

Question

总薄铁皮做成一个容积为Vo的有盖长方匣,其底为正方形,由于底面无需喷漆,故故单位面积成本仅为其余各面积的一半,问长方匣的底面边长为多少时,才能使匣子的造价最低?

Answer 1

设底面边长为x 底面单位面积成本p 匣子的造价f（x）
f（x）=px²+2px²+2p×4×（xVo/x²)
=3px²-（8pVo/x）（x>0)
f′（x）=6px-（8pVo/x²）
令f′（x）=0
得x=（4Vo/x）的三次根
又f″（x）=6p-（16pVo/x³）>0
所以长方匣的底面边长为（4Vo/x）的三次根,才能使匣子的造价最低.
补充：为简便可以令底面单位面积成本1