设a,b,c是0~9中的数字且至少有两个不相等,将循环小数0.abc化成最简分数后,分子有多少种不同情况?

Question

设a,b,c 是0~9 中的数字且至少有两个不相等,将循环小数0.abc化成最简分数后,分子有多少种不同情况?

Answer 1

abc/999 = 0.abcabc……
abc可以从001至999.
而999=9x111=3x3x3x37
所以001到999中以3为公因数有333个数可以约分
还剩999-333=666（个）
999÷37=27以37为公因数的有27个可以约分,还剩666-27=639（个）
至少有两个不相等,则重复的有999÷3÷27=9个,所以剩639+9=648（个）
这里要注意,不是所有3的倍数都不能在此分子中存在,
因为999的因子只有3个3,所以3的4次方81的倍数再约掉了3个3以后还会剩下3的因子.
而999÷81=12余数为27
所以81的倍数有12个.
最终结果=648+12=660,即分子有660种不同情况.