已知点A是抛物线y=14x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（

Question

已知点A是抛物线y=

(1)/(4)x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）

A.

(√(5)+1)/(2)

B.

(√(2)+1)/(2)

C.

√(2)+1

D.

√(5)+1

Answer 1

抛物线的标准方程为x²=4y，
则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=-1，
过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则(|PN|)/(|PA|)=m，
设PA的倾斜角为α，则sinα=m，
当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2（√(2)-1），
∴双曲线的离心率为(2)/(2(√(2)-1))=√(2)+1．
故选C．