已知双曲线x216−y24=1的两焦点为F1、F2．（1）若点M在双曲线上，且MF1•MF2=0，求M点到x轴的距离；（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程．

Question

已知双曲线(x2)/(16)−(y2)/(4)=1的两焦点为F₁、F₂．
（1）若点M在双曲线上，且

MF1

•

MF2

=0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3√(2)，2），求双曲线C的方程．

Answer 1

（1）已知双曲线(x2)/(16)−(y2)/(4)=1的焦点为F₁（-2√(5)，0），F₂（2√(5)，0）．
∵

MF1

•

MF2

=0，
∴MF₁⊥MF₂，
∴点M在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=20上，
与(x2)/(16)−(y2)/(4)=1联立，消去x，可得(20−y2)/(16)−(y2)/(4)＝1
∴得|y|=(2√(5))/(5)，
∴点M到x轴的距离为(2√(5))/(5)，
（2）设双曲线C的方程为(x2)/(16+λ)−(y2)/(4−λ)＝1，（16+λ＞4-λ＞0）
代入（3√(2)，2），可得(18)/(16+λ)−(4)/(4−λ)＝1，
∴λ=-4，
∴双曲线C的方程为(x2)/(12)−(y2)/(8)＝1．