已知双曲线x2−y23＝1上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．-4C．0或4D．0或-4

Question

已知双曲线x2−(y2)/(3)＝1上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y²=9x上，则实数m的值为（　　）

A．4
B．-4
C．0或4
D．0或-4

Answer 1

∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率-1，MN中点P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上
设直线MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m
由

y＝−x+b

x2−(y2)/(3)＝1

消元可得：2x²+2bx-b²-3=0
∴M_x+N_x=-b，∴x₀=-(b)/(2)，∴b=(m)/(2)
∴MN中点P（-(m)/(4)，(3)/(4)m）
∵MN的中点在抛物线y²=9x上，
∴(9)/(16)m2＝ −(9m)/(4)
∴m=0或4
故选D．