双曲线和抛物线相交求离心率?已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1与抛物线y^2=2px有相同的焦点F,点A是两曲线的焦点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为

Question

双曲线和抛物线相交求离心率?
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1与抛物线y^2=2px有相同的焦点F,点A是两曲线的焦点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为

Answer 1

设A在第一象限
由题意得：F(p/2,0)
由于F为双曲线右焦点
则：c=p/2
由于AF⊥x轴
则：xA=xF=p/2=c
由于A在抛物线上
则：xA=p/2代入,得：
yA^2=p^2,由yA>0,得：yA=p
则A(p/2,p),由p/2=c
则：A(c,2c)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1
得：c^2/a^2-4c^2/b^2=1
b^2c^2-4a^2c^2=a^2b^2
b^2(c^2-a^2)=4a^2c^2
(c^2-a^2)^2=4a^2c^2
a^4+c^4-2a^2c^2=4a^2c^2
a^4-6a^2c^2+c^4=0
左右同除a^4,得：
1-6e^2+e^4=0
e^4-6e^2+9=8
(e^2-3)^2=(±2√2)^2
则：e^2=3±2√2
由于：e>1,则：e^2>1
则：e^2=3+2√2
则：e=1+√2