已知：正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/秒的速度运动，与此同时，点F也从点D出发沿DC方向相同的速度运动，记运动的时间为t（0≤t≤4），AF与BE交于P点．（1）如图，在运

Question

已知：正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/秒的速度运动，与此同时，点F也从点D出发沿DC方向相同的速度运动，记运动的时间为t（0≤t≤4），AF与BE交于P点．
（1）如图，在运动过程中，AF与BE相等吗？请说明理由．
（2）在运动过程中，要使得△BPC是等腰三角形，t应为何值？请画出图形，并求出所有满足条件的t值．

Answer 1

（1）结论：AF=BE，
证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
在△ABE和△DAF中，

AB=AD

∠BAE=∠D

AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF．
（2）①如图2中，当CP=CB时，作CM⊥BE垂足为O，交AB于M．
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠APE=90°，
∴AF⊥BE，
∴OM∥AP，
∵OP=OB，
∴AM=BM，
∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，
∴∠AEB=∠CMB，
在△ABE和△CBM中，

∠BAE=∠CBM=90°

∠AEB=∠CMB

AB=BC

，
∴△ABE≌△CBM，
∴AE=BM=2，
∴t=2，
②如图3中，当点E运动到与点D重合，点F运动到与点C重合时，△PBC是等腰三角形，此时t=4，
③当t=0时，点E在点A处，点F在点D处，则AF于BE的交点P于点A重合，此时，△BPC显然是等腰直角三角形
∴t=0或2或4时，△BPC是等腰三角形．