没有一块边长36厘米的正方形铁皮,从四个角截去同样大小的正形小方块,做成一个无盖的方盒子,小方块边长为多少才能使盒子容积最大?

Question

没有一块边长36厘米的正方形铁皮,从四个角截去同样大小的正形小方块,做成一个无盖的方盒子,小方块
边长为多少才能使盒子容积最大?

Answer 1

设小方块的边长为x,无盖盒子的容积为y,
则：y=(36-2x)^2*x （0≤x≤18)
整理得：y=4(x^3-36x^2+324x)
一阶导数为：y'=12(x^2-24x+108)
二阶导数为：y''=24(x-12)
若函数取得极值,则一阶导数为0,
令y'=0,即：12(x^2-24x+108)=0,
解得：x1=6,x2=18
分别代入二阶导数表达式,得：
y1''=24*(x1-12)=24*(6-12)=-1440,故x2为极小值点,
把x1=6代入原函数：
y最大=(36-2x1)^2*x1=(36-2*6)^2*6=3456cm^3
当小方块边长取6时,立方体有最大值为3456cm^3