如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向

Question

如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r₁的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r₂的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场．一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b滑入水平轨道某位置时，a就滑上了右端半圆轨道最高点（b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R₁、R₂，其余部分电阻不计．在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大？

Answer 1

（1）b棒从左侧轨道下滑的过程，由机械能守恒定律：(1)/(2)M

v

2 b1

＝Mgr1
∴vb1＝√(2gr1)
b刚滑到水平轨道时加速度最大，
由E=BLv_b1，I＝(E)/(R1+R2)，F_安=BIL=Ma得
∴a＝(B2L2√(2gr1))/(M(R1+R2))
（2）根据动量定理得-BILt=Mv_b2-Mv_b1           
又It=q，即-BLq=Mv_b2-Mv_b1
∴vb2＝√(2gr1)−(BLq)/(M)
对a棒，在根据牛顿第三定律得：N=N′=mg
在轨道最高点：mg+N＝m(v2a1)/(r2)
∴va1＝√(2gr2)
根据能量守恒定律得：
Mgr1＝(1)/(2)M

v

2 b2

+(1)/(2)m

v

2 a1

+mg2r2+Q
得Q＝√(2gr1)BLq−3mgr2−(B2L2q2)/(2M)
（3）∵2mgr2＝(1)/(2)m

v

2 a2

−(1)/(2)m

v

2 a1

∴va2＝√(6gr2)
当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，则有
  Mv_b1=Mv_b3+mv_a2
∴vb3＝√(2gr1)−(m)/(M)√(6gr2)
答：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是(B2L2√(2gr1))/(M(R1+R2))．
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是√(2gr1)BLq-3mgr₂-(B2L2q2)/(2M)．
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是√(2gr1)-(m)/(M)√(6gr2)．