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已知实数a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1.求证:1小于a+b小于4/3
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已知实数a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1.求证:1小于a+b小于4/3
▼优质解答
答案和解析
证明:由a+b+c=1得:a+b=1-c,两边同时平方,得:
a²+b²+2ab=1-2c+c²
1-c²+2ab=1-2c+c²
2ab=2c²-2c
因a>b,故(a-b)²>0,展开得:2ab<a²+b²=1-c²,则有:
2c²-2c<1-c²
3c²-2c-1<0
(3c+1)(c-1)<0
解得:-1/3<c<1,
另外,由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca可得:
1=1+2ab+2bc+2ca
即:ab+bc+ca=0,
可以看出,若a、b、c全为正或者全为负,那么上式都将大于0,所以a、b、c中有负数,因c最小,所以c必定是负数,即c
a²+b²+2ab=1-2c+c²
1-c²+2ab=1-2c+c²
2ab=2c²-2c
因a>b,故(a-b)²>0,展开得:2ab<a²+b²=1-c²,则有:
2c²-2c<1-c²
3c²-2c-1<0
(3c+1)(c-1)<0
解得:-1/3<c<1,
另外,由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca可得:
1=1+2ab+2bc+2ca
即:ab+bc+ca=0,
可以看出,若a、b、c全为正或者全为负,那么上式都将大于0,所以a、b、c中有负数,因c最小,所以c必定是负数,即c
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