已知实数a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1.求证：1小于a+b小于4/3

Question

已知实数a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1.求证：1小于a+b小于4/3

Answer 1

证明：由a+b+c=1得：a+b=1-c,两边同时平方,得：
a²+b²+2ab=1-2c+c²
1-c²+2ab=1-2c+c²
2ab=2c²-2c
因a＞b,故(a-b)²＞0,展开得：2ab＜a²+b²=1-c²,则有：
2c²-2c＜1-c²
3c²-2c-1＜0
(3c+1)(c-1)＜0
解得：-1/3＜c＜1,
另外,由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca可得：
1=1+2ab+2bc+2ca
即：ab+bc+ca=0,
可以看出,若a、b、c全为正或者全为负,那么上式都将大于0,所以a、b、c中有负数,因c最小,所以c必定是负数,即c