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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA+acos(B+C)=0,若c=2,sinC=35,则a+b等于()A.43B.42C.26D.25
题目详情
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA+acos(B+C)=0,若c=2,sinC=
,则a+b等于( )3 5
A. 43
B. 42
C. 26
D. 25
▼优质解答
答案和解析
△ABC中,bsinA+acos(B+C)=0,
∴bsinA-acosA=0,
由正弦定理得sinBsinA-sinAcosA=0,
又A∈(0,π),∴sinA≠0,
∴sinB-cosA=0,即cosA=sinB;
∴cosA=sin(
+A)=sinB,
∴
+A+B=π,即C=A+B=
;
或B=
+A,即B-A=
;
又∵sinC=
,∴B-A=
,
∴cosC=sin(
-C)=sin2A=2sinAcosA=
,
∴1+2sinAcosA=(sinA+cosA)2=
,
解得sinA+cosA=
;
∴a+b=
(sinA+sinB)=
(sinA+cosA)=
×
=2
.
故选:D.
∴bsinA-acosA=0,
由正弦定理得sinBsinA-sinAcosA=0,
又A∈(0,π),∴sinA≠0,
∴sinB-cosA=0,即cosA=sinB;
∴cosA=sin(
π |
2 |
∴
π |
2 |
π |
2 |
或B=
π |
2 |
π |
2 |
又∵sinC=
3 |
5 |
π |
2 |
∴cosC=sin(
π |
2 |
4 |
5 |
∴1+2sinAcosA=(sinA+cosA)2=
9 |
5 |
解得sinA+cosA=
3
| ||
5 |
∴a+b=
c |
sinC |
10 |
3 |
10 |
3 |
3
| ||
5 |
5 |
故选:D.
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