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如图,平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,且OA=AB.(1)如图,在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB,若A(-3,1),请求出A1点的坐标:(2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示
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如图,平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,且OA=AB.
(1)如图,在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB,若A(-3,1),请求出A1点的坐标:
(2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时,AB与y轴交于点E,且AE=BE.AF⊥y轴交BO于F,连接EF,作AG∥EF交y轴于G.试判断△AGE的形状,并说明理由;
(3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时,若A(
,3),C为x轴上一点,且OC=OA,∠BOC=15°,P为y轴上一点,过P作PN⊥AC于N,PM⊥AO于M,当P在y轴正半轴上运动时,试探索下列结论:①PO+PN-PM不变,②PO+PM+PN不变.其中哪一个结论是正确的?请说明理由并求出其值.
(1)如图,在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB,若A(-3,1),请求出A1点的坐标:
(2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时,AB与y轴交于点E,且AE=BE.AF⊥y轴交BO于F,连接EF,作AG∥EF交y轴于G.试判断△AGE的形状,并说明理由;
(3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时,若A(
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图所示:△A1OB为所画的轴对称图形(1分)
过A作AC⊥x轴于C,A1D⊥x轴于D,
∵A(-3,1),
∴AC=1,OC=3,
∵OA=AB,∠BAO=90°,
∴∠BOA=45°,
∴∠BOA1=45°,
∴∠AOA1=90°,
∴∠AOC+∠A1OD=90°,
又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°,
∴∠CAO=∠A1OD,
又∵∠ACO=∠ODA1=90°,AO=A1O,
∴△ACO≌△ODA1(3分)
∴AC=OD=1,OC=A1D=3,
∴A1,(1,3)(4分)
(2)△AEG为等腰三角形(5分)
证明:过B作BH⊥AB于B交AF的延长线于H,
∵∠OAE=∠ABH=90°,∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH,OA=AB,
∴△AEO≌△BHA(6分)
∴AE=BH=BE,∠AEO=∠BHA,
又∵∠EBF=∠HBF=45°,BF=BF,
∴△BEF≌△BHF(SAS)
∴∠BHF=∠BEF(7分)
∵AG∥EF
∴∠EAG=∠BEF
∴∠EAG=∠AEG
∴AG=EG
即△AEG为等腰三角形(8分)
(3)PO+PN-PM=3不变,
过A作AL⊥x轴于L,连接AP、PC(9分)
∵A(
,3)
∴AL=3((10分))
∵∠AOC=45°+15°=60°,OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∵S△POC=
PO•OC,
S△PAC=
PN•AC,
S△POA=
PM•OA,
S△AOC=
AL•OC,(11分)
且S△AOC=S△POC+S△PAC-S△POA,
∴S△AOC=
AL•OC=
PO•OC+
PN•AC-
PM•OA,
∴PO+PN-PM=AL=3(12分).
过A作AC⊥x轴于C,A1D⊥x轴于D,
∵A(-3,1),
∴AC=1,OC=3,
∵OA=AB,∠BAO=90°,
∴∠BOA=45°,
∴∠BOA1=45°,
∴∠AOA1=90°,
∴∠AOC+∠A1OD=90°,
又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°,
∴∠CAO=∠A1OD,
又∵∠ACO=∠ODA1=90°,AO=A1O,
∴△ACO≌△ODA1(3分)
∴AC=OD=1,OC=A1D=3,
∴A1,(1,3)(4分)
(2)△AEG为等腰三角形(5分)
证明:过B作BH⊥AB于B交AF的延长线于H,
∵∠OAE=∠ABH=90°,∠AOE=∠BAH=90°-∠OAH,OA=AB,
∴△AEO≌△BHA(6分)
∴AE=BH=BE,∠AEO=∠BHA,
又∵∠EBF=∠HBF=45°,BF=BF,
∴△BEF≌△BHF(SAS)
∴∠BHF=∠BEF(7分)
∵AG∥EF
∴∠EAG=∠BEF
∴∠EAG=∠AEG
∴AG=EG
即△AEG为等腰三角形(8分)
(3)PO+PN-PM=3不变,
过A作AL⊥x轴于L,连接AP、PC(9分)
∵A(
3 |
∴AL=3((10分))
∵∠AOC=45°+15°=60°,OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∵S△POC=
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S△PAC=
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S△POA=
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S△AOC=
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且S△AOC=S△POC+S△PAC-S△POA,
∴S△AOC=
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∴PO+PN-PM=AL=3(12分).
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