如图，直线y=kx+4与函数y=mx（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若△COD的面积是△AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；

Question

如图，直线y=kx+4与函数y= (m)/(x) （x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、 D两点．
（1）若△COD的面积是△AOB的面积的

2

倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）（其中x ₁ ＜x ₂ ，y ₁ ＞y ₂ ），
∵S _△COD =

2

S _△AOB ，
∴S _△COD =

2

（S _△AOD -S _△BOD ）
∴ (1)/(2) •OC•OD=

2

（ (1)/(2) •OD•y ₁ - (1)/(2) •OD•y ₂ ），OC=

2

（y ₁ -y ₂ ），（2分）
又OC=4，
∴（y ₁ -y ₂ ） ² =8，即（y ₁ +y ₂ ） ² -4y ₁ y ₂ =8，（3分）
由 y=(m)/(x) 可得 x=(m)/(y) ，代入y=kx+4可得：y ² -4y-km=0①
∴y ₁ +y ₂ =4，y ₁ •y ₂ =-km，
∴16+4km=8，即 k=-(2)/(m)
又方程①的判别式△=16+4km=8＞0，
∴所求的函数关系式为 k=-(2)/(m) （m＞0）；（5分）

（2）假设存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）
则AP⊥BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N
∵∠MAP与∠BPN都与∠APM互余，
∴∠MAP=∠BPN（6分）
∴Rt△MAP ∽ Rt△NPB，
∴ (AM)/(PN) =(MP)/(NB)
∴ (y1)/(x2 -2) =(2- x1)/(y2) ，
∴（x ₁ -2）（x ₂ -2）+y ₁ y ₂ =0，
∴ ((m)/(y1) -2)((m)/(y2) -2)+ y 1 y 2 =0 ，
即m ² -2m（y ₁ +y ₂ ）+4y ₁ y ₂ +（y ₁ y ₂ ） ² =0②（8分）
由（1）知：y ₁ +y ₂ =4，y ₁ •y ₂ =2，代入②得：m ² -8m+12=0，
∴m=2或6，又 k=-(2)/(m) ，
∴

m=2

k=-1

或

m=6

k=-(1)/(3)

，
∴存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0），且

m=2

k=-1

或

m=6

k=-(1)/(3)

．（10分）