早教吧作业答案频道 -->其他-->
一道高等数学题设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)=f'(b)=0.试证在(a,b)内至少有一点c,使|f"(c)|大于等于4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|成立.
题目详情
一道高等数学题
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)=f'(b)=0.试证在(a,b)内至少有一点c,使|f"(c)|大于等于4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|成立.
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)=f'(b)=0.试证在(a,b)内至少有一点c,使|f"(c)|大于等于4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|成立.
▼优质解答
答案和解析
f(x)有泰勒展开式:
f(x)=f(a)+f''(ξ1)(x-a)²/2,
f(x)=f(b)+f''(ξ2)(x-b)²/2,ξ1,ξ2均在(a,b)内.
所以
f[(a+b)/2]-f(a)=f''(ξ1)(b-a)²/8
f[(a+b)/2]-f(b)=f''(ξ2)(b-a)²/8,两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|(b-a)²/8
|f''(ξ1)-f''(ξ2)|=8|f(b)-f(a)|/(b-a)²
若记|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|中较大者为|f''(c)|,
则|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|≤2|f''(c)|
从而|f''(c)|≥4|f(b)-f(a)|/(b-a)².
f(x)=f(a)+f''(ξ1)(x-a)²/2,
f(x)=f(b)+f''(ξ2)(x-b)²/2,ξ1,ξ2均在(a,b)内.
所以
f[(a+b)/2]-f(a)=f''(ξ1)(b-a)²/8
f[(a+b)/2]-f(b)=f''(ξ2)(b-a)²/8,两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|(b-a)²/8
|f''(ξ1)-f''(ξ2)|=8|f(b)-f(a)|/(b-a)²
若记|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|中较大者为|f''(c)|,
则|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|≤2|f''(c)|
从而|f''(c)|≥4|f(b)-f(a)|/(b-a)².
看了 一道高等数学题设f(x)在[...的网友还看了以下:
向量组证明问题设A,B分别为m*r,r*n阶矩阵,且AB=0,求证(1)B的各列向量是齐次线性方程 2020-05-14 …
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c),点A(x1,y1)B(x2,y2)是该函数图像 2020-06-16 …
求证:b=0是函数f(X)=ax平方+bx+c是偶函数的充要条件 2020-06-26 …
证明A+B的行列式为零已知有n阶矩阵A,B,且A^2=E=B^2,det(A)+det(B)=0, 2020-07-20 …
一道数学分析f(x)在(a,+∞)上有直到n阶导数,且limf(x)=A,limf的n阶导(x)= 2020-07-20 …
设f(x)在[a,b]上一阶可导在,(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f'(a)×f 2020-07-31 …
一函数在x=0邻域内二阶可导,一阶导在x=0处为0,二阶导在趋近0时为3,怎么证明二阶导在0处等于 2020-07-31 …
设g(x)在a,b连续,f(x)在a,b二阶可导,f(a)=g(b)=0,且对任意x属于a,b满足 2020-08-01 …
一个关于二阶导数的问题设f(x)[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'( 2020-12-27 …
1)设f(x)在[a,b]上可微,且f(a)=f(b)=0,证明:在(a,b)内存在一点ξ,使f'( 2020-12-28 …