在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与

Question

在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．

感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为___．

Answer 1

证明：感知：如图①，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵DE=1，CD=4，
∴CE=3，
∵AD=3，
∴AD=CE，
∴△ADE≌△ECF（ASA）；
探究：如图②，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∵EF⊥PE，
∴∠PEF=90°，
∴∠DEP+∠FEC=90°，
∴∠DPE=∠FEC，
∴△PDE∽△ECF；
应用：如图③，过F作FG⊥DC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S_△PEF=(1)/(2)PE•EF=3，
∴PE•EF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴(DE)/(FG)=(PE)/(EF)，
∴(PE)/(EF)=(1)/(3)，
∴EF=3PE，
∴3PE²=6，
∴PE=±√(2)，
∵PE>0，
∴PE=√(2)，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD-PD=3-1=2，
故答案为：2．