如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．（1）求证：△CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．

Question

如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．
（1）求证：△CBE为等边三角形；
（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵CA=CB，CE=CA，
∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，
∴∠DAC=∠CEA=15°，
∴∠ACE=150°，
∴∠BCE=60°，
∴△CBE为等边三角形；

（2）在AE上截取EM=AD，连接CM．
在△ACD和△ECM中，

AD＝EM

∠DAC＝∠MEC

AC＝EC

，
∴△ACD≌△ECM（SAS），
∴CD=CM，
∵∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CD=DM=7-5=2．