已知tanβ=43，sin（α+β）=513，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．

Question

已知tanβ=(4)/(3)，sin（α+β）=(5)/(13)，且α，β∈（0，π），则sinα的值为______．

Answer 1

∵α，β∈（0，π），tanβ=(4)/(3)，sin（α+β）=(5)/(13)，
∴sinβ=(4)/(5)，cosβ=(3)/(5)，0＜β＜(π)/(2)，
∴0＜α+β＜(3π)/(2)，
∵0＜sin（α+β）=(5)/(13)＜(1)/(2)，
∴0＜α+β＜(π)/(6)，或(5π)/(6)＜α+β＜π，
∵tanβ=(4)/(3)＞1，
∴(π)/(2)＞β＞(π)/(4)，
∴(5π)/(6)＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-√(1−sin2(α+β))=-(12)/(13)，
∴sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=(5)/(13)×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)=(63)/(65)．
故答案为：(63)/(65)．