由y=f（x）的参数方程求其单调性和凹凸性时,方法一般是将参数方程求一阶导数和二阶导数,即dy/dt和d²y/dx²,假设x=t-sint,y=1-cost,t∈0,2π,问y=y（x）的单调性和凹凸性.除了上面说的方

Question

由y=f（x）的参数方程求其单调性和凹凸性时,方法一般是将参数方程求一阶导数和二阶导数,即dy/dt 和d²y/dx²,假设x=t-sint,y=1-cost,t∈【0,2π】,问y=y（x）的单调性和凹凸性.
除了上面说的方法外,可不可以这样作：因为x=t-sint单调,由dy/dt=sint得在0到π单增,在π到2π单减,所以y=y（x）在0到π单增,在π到2π单减.d²y/dt²=cost,在0到π/2大于零,为凹；π/2到3π/2小于零,为凸；3π/2到2π大于零,为凹.
这么作好像不对,

Answer 1

LZ,我给你证明几条结论,可能会用到你没学过的东西,你就将就着看吧
首先y,x是t的函数,这个事实上表明了y,x,t两两互为函数
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)*1/(dx/dt)（LZ不要以为第二步到第三步很简单,看起来不就是一个倒数?我很明确的告诉你,不是的,这个涉及到了反函数的求导原则,证明过程还很容易搞混,记住就行了）
因为x=x(t),且x'(t)>0,再根据y'(t)是否大于0,我们就能得到dy/dx与0的大小.可以看出当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增；当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)单调递减
再看凹凸性：
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d((dy/dt)*(dt/dx))/d(x)=d(dy/dt)/dx+d(dt/dx)/dx
=(d²y/(dtdx))*(dt/dx(+(d²t/dx²)*(dy/dt(（这个说白了就是f(x)q(x)对X求导的原理,你就这么理解吧）
其中d²y/(dtdx)表示的是y对t先求导,得到的结果再对x求导,因为t是x的函数,因此又有
d²y/(dtdx)=d(dy/dt)/dx=d(dy/dt)/dt*dt/dx=(d²y/dt²)*(dt/dx)
事实上,一般来说d²y/(dtdx)=d²y/(dxdt)
好了LZ不用仔细看过程,你只要知道两点
1、当x(t),y(t)同增减时,y=f(x)单调递增；当x(t),y(t)不同增减时,y=f(x)点掉递减.
2、凹凸性,你就别贪图简单了,你做的凹凸性八成是错的.当然我自己没算