过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB＝613BC．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，

Question

过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知

AB

＝(6)/(13)

BC

．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x₁，y₁）
令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）
∴

AB

＝(x1+a，y1)，

BC

＝(−x1，2a−y1)----------------------（3分）
∵

AB

＝(6)/(13)

BC

，
∴x₁+a=(6)/(13)(−x1)，y1＝(6)/(13)(2a−y1)，整理得x1＝−(13)/(19)a，y1＝(12)/(19)a--------------------（4分）
∵B点在椭圆上，∴((13)/(19))2+((12)/(19))2•(a2)/(b2)＝1，∴(b2)/(a2)＝(3)/(4)，----------------------（5分）
∴(a2−c2)/(a2)＝(3)/(4)，即1−e2＝(3)/(4)，∴e＝(1)/(2)----------------------（6分）
（Ⅱ）∵(b2)/(a2)＝(3)/(4)，可设b²=3t．a²=4t，
∴椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0----------------------（7分）
由

3x2+4y2−12t＝0

y＝kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0----------------------（8分）
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0
整理得m²=3t+4k²t----------------------（9分）
设P（x₁，y₁）则有x1＝−(8km)/(2(3+4k2))＝−(4km)/(3+4k2)，y1＝kx1+m＝(3m)/(3+4k2)
∴P(−(4km)/(3+4k2)，(3m)/(3+4k2))----------------------（10分）
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+(4km)/(3+4k2)，−(3m)/(3+4k2))•(−3，−(4k+m))＝0恒成立
整理得3+4k²=m²，----------------------（12分）
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1
∴所求椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1----------------------（13分）