如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时

Question

如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．

（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率．

Answer 1

（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴2²=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y²=4x
准线方程是x=-1
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
则kPA＝(y1−2)/(x1−1)(x1≠1)，kPB＝(y2−2)/(x2−1)(x2≠1)
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴k_PA=-k_PB
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，得y₁²=4x₁（1）y₂²=4x₂（2）
∴(y1−2)/((1)/(4)y12−1)＝−(y2−2)/((1)/(4)y22−1)
∴y₁+2=-（y₂+2）
∴y₁+y₂=-4
由（1）-（2）得直线AB的斜率kAB＝(y2−y1)/(x2−x1)＝(4)/(y1+y2)＝−(4)/(4)＝−1(x1≠x2)