如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．

Question

如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．

Answer 1

（1）如图，连接EF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，

AB＝AD

∠B＝∠D

BE＝DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BE=DF，BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EC=(√(2))/(2)EF=(√(2))/(2)×2=√(2)；

（2）证明：∵∠AGC=120°，
∴∠AGF=180°-∠AGC=180°-120°=60°，
又∵△AEF是等边三角形，（已证）
∴∠AEF=60°，
∴点A、E、G、F四点共圆，
∴∠AGE=∠AFE=60°，
∴∠CGE=∠AGC-∠AGE=120°-60°=60°，
延长GE交AB的延长线于H，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠CGE=60°，
∴∠H=∠AGF，
又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，
∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，
∴∠GAF=∠HAE，
在△AFG和△AEH中，

∠H＝∠AGF

∠GAF＝∠HAE

AE＝AF

，
∴△AFG≌△AEH（AAS），
∴AG=AH，FG=EH，
∵∠AGE=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，
即AG=EG+FG．