已知在△ABC中，BC=120mm，边BC上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上．问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？

Question

已知在△ABC中，BC=120mm，边BC上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上．问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？

Answer 1

设PN=x（mm），

由条件可得△APN∽△ABC，
∴(PN)/(BC)=(AE)/(AD)，
即(x)/(120)=(80-PQ)/(80)，
解得PQ=80-(2)/(3)x．
∴S=PN•PQ=x（80-(2)/(3)x）=-(2)/(3)x²+80x=-(2)/(3)（x-60）²+2400，
∴S的最大值为2400mm²，
此时PN=60mm，
PQ=80-(2)/(3)×60=40（mm）．