在△ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°，b2=ac；②b2tanA=a2tanB；③sinC=sinA+sinBcosA+cosB；④（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B）．

Question

在△ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°，b²=ac；②b²tanA=a²tanB；
③sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)；④（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．

Answer 1

①由余弦定理cos60°＝(a2+c2−b2)/(2ac)⇒(a2+c2−b2)/(2ac)＝(1)/(2)⇒a2+c2−ac＝ac
∴（a-c）²=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形．
②由b2tanA＝a2tanB⇒(b2sinA)/(cosA)=(a2sinB)/(cosB)⇒(sinBcosA)/(sinAcosB)＝(b2)/(a2)＝(sin2B)/(sin2A)∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC为等腰△或Rt△．
③∵sinC＝(sinA+sinB)/(cosA+cosB)，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c×(a2+b2−c2)/(2bc)+c×(a2+c2−b2)/(2ac)＝a+b
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，∴c²=a²+b²，∴△ABC为Rt△．
④∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．
∴（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a²cosAsinB=b²sinAcosB，
即：(sinAcosB)/(cosAsinB)=(a2)/(b2)=(sin2A)/(sin2B)
∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=(π)/(2)
∵(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=2R，
∴△ABC是等腰△或Rt△．