如图，在四边形ABCD中，E为AB边上一点，ED⊥AD于D，EC⊥CB于C，且∠AED=∠BEC，AB=213，AD=3，BD=37，M、N分别为AE、BE的中点，连接DM

Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB边上一点，ED⊥AD于D，EC⊥CB于C，且∠AED=∠BEC，AB=2 √(13)，AD=3，BD= √(37)，M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，则△DEM与△CEN的周长之和为___．

Answer 1

延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A=∠CBE，
∴FA=FB．
连接EF，∵S_△ABF=S_△AEF+S_△BEF，
即(1)/(2)AF•BH=(1)/(2)AF•DE+(1)/(2)BF•CE，
∴ED+EC=BH，
设DH=x，则AH=AD+DH=（3+x）．
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=90°．
∴BH²=BD²-DH²=AB²-AH²．
∵AB=2√(13)，AD=3，BD=√(37)，
∴（√(37)）²-x²=（2√(13)）²-（3+x）²，
解得：x=1．
∴BH²=BD²-DH²=37-1=36，
∴BH=6，
∴ED+EC=BH=6，
∵∠ADE=∠BCE=90°，
且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=AM=EM=AE，CN=BN=EN=BE．
∴△DEM与△CEN的周长之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC
=DE+EC+AB=2√(13)+6．
即△DEM与△CEN的周长之和为2√(13)+6．
故答案为：2√(13)+6．