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九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数，
题目详情
九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用bn表示前（n-1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，an=an-2+1+bn-1，b1=1，bn=2bn-1+1．
（1）求bn的表达式；
（2）求a9的值，并求出an的表达式；
（3）求证：
+
+
+…+
＜2．
（1）求bn的表达式；
（2）求a9的值，并求出an的表达式；
（3）求证：
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
▼优质解答
答案和解析
（1）由bn=2bn-1+1．可得bn+1=2（bn-1+1），又b1+1=2，
∴数列{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1＝2×2n−1＝2n，得bn＝2n−1．
（2）由已知an＝an−2+1+bn−1＝an−2+2n−1，
∴a9＝a7+28＝a5+28+26＝a3+28+26+24=a1+28+26+24+22=341．
当n是偶数时，an＝an−2+2n−1＝an−4+2n−1+2n−3
=…=a2+2n−1+2n−3+…+23
=2n-1+2n-3+…+23+2
=
=
(2n+1−2)．
当n是奇数时，an＝an−2+2n−1＝an−4+2n−1+2n−3
=…=a1+2n−1+2n−3+…+22
=2n-1+2n-3+…+22+1
=
＝
(2n+1−1)．
综上所述：an＝
∴数列{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1＝2×2n−1＝2n，得bn＝2n−1．
（2）由已知an＝an−2+1+bn−1＝an−2+2n−1，
∴a9＝a7+28＝a5+28+26＝a3+28+26+24=a1+28+26+24+22=341．
当n是偶数时，an＝an−2+2n−1＝an−4+2n−1+2n−3
=…=a2+2n−1+2n−3+…+23
=2n-1+2n-3+…+23+2
=
| 2×(2n−1) |
| 22−1 |
| 1 |
| 3 |
当n是奇数时，an＝an−2+2n−1＝an−4+2n−1+2n−3
=…=a1+2n−1+2n−3+…+22
=2n-1+2n-3+…+22+1
=
| 2n+1−1 |
| 22−1 |
| 1 |
| 3 |
综上所述：an＝
|
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