定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定

Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④g(x)＝(1)/(2)x为函数f（x）=x²的一个承托函数．
其中正确的命题有______．

Answer 1

①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；
③令F（x）═|3x|-2x=

x   x≥0

−5x    x＜0

，
可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，
在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义
∴命题③正确；
④x=1时，g（1）=(1)/(2)，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），
当x=(1)/(4)时，g（ (1)/(4)）=(1)/(8)，f（ (1)/(4)）=(1)/(16)，显然g（ (1)/(4)）＞f（ (1)/(4)），
命题④不正确．
故答案为：①③