某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为Pn=apn，n≥11−ap1−p，n＝0，其中0＜p＜1，0＜a＜1−pp，若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的，求证：一天孵出k只母鸡的概率2aPk(2−p)k+1，又已知一天

Question

某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为P_n=

apn，	n≥1
1−(ap)/(1−p)，	n＝0

，其中0＜p＜1，0＜a＜(1−p)/(p)，若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的，求证：一天孵出k只母鸡的概率(2aPk)/((2−p)k+1)，又已知一天已孵出母鸡，问还能孵出一只公鸡的概率是多少？

Answer 1

设A_k是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，B_n是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，
则B_n是互不相容事件，且
P（B_n）=P_n，
P（A_k|B_n）=

C

k n

((1)/(2))k((1)/(2))n−k=

C

k n

((1)/(2))n．
（1）对于任意k≥1，由全概率公式可得，
P（A_k）=

∞

n＝k

P(Bn)P(Ak|Bn)
=

∞

n＝k

apn

C

k n

((1)/(2))n
=a((1)/(2))k(1)/(k!)

∞

n＝k

(n!)/((n−k)!)((p)/(2))n−k
=a((1)/(2))k(1)/(k!)((1)/(1−x))(k)|x＝(p)/(2)
=(2apk)/((2−p)k+1)．
（2）某天已孵出一只母鸡，即A₁ 发生，在此条件下还孵出一只公鸡，即B₂发生，因此所求概率为
P（B₂|A₁）=(P(B2A1))/(p(A1))
=(P(A1|B2)P(B2))/(P(A1))
=

C

1 2

(

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