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如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB,MD.(1)求证:BE=DC;(2)求证:∠MBE=∠MDC.
题目详情
如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB
,MD.
(1)求证:BE=DC;
(2)求证:∠MBE=∠MDC.
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(1)求证:BE=DC;
(2)求证:∠MBE=∠MDC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵AM平分∠BAD,∠BAD=90°,
∴∠BAE=45°∴△BAE为等腰直角三角形,
又AB=DC,∴BE=DC.
(2)由CM⊥AM易得,∠EMC=90°,
又∵∠BAE=45°,∠BEA=45°,
∴∠MEC=45°,
∴∠MEC=∠MCE,
∴△MEC为等腰直角三角形,
∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°.
又BE=DC,
∴△BEM≌△DCM.
∴∠MBE=∠MDC.
∴∠BAE=45°∴△BAE为等腰直角三角形,
又AB=DC,∴BE=DC.
(2)由CM⊥AM易得,∠EMC=90°,
又∵∠BAE=45°,∠BEA=45°,
∴∠MEC=45°,
∴∠MEC=∠MCE,
∴△MEC为等腰直角三角形,
∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°.
又BE=DC,
∴△BEM≌△DCM.
∴∠MBE=∠MDC.
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