如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA上一动点，连结PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连结DF交AB于点G．（1）当P是OA

Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA上一动点，连结PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连结DF交AB于点G．

（1）当P是OA的中点时，求PE的长；
（2）若∠PDF=∠E，求△PDF的面积．

Answer 1

（1）当P是OA的中点时，PB=3，
∵CE是⊙O的切线，
∴AB⊥CE，
又∵CP⊥PE，∠CPB=∠E，
∴△CBP∽△PBE，
∴(CB)/(BP)=(PB)/(BE)，
∴BE=(BP2)/(BC)＝(9)/(2)，
∴在Rt△PBE中，PE=√(PB2+BE2)=√(32+((9)/(2))2)=(3√(13))/(2)；
（2）在Rt△PDG中，由∠PDF=∠E=∠CPB，可知∠GPF=∠GFP
于是GD=GP=GF，
直径AB平分弦DF，有两种可能：
（ⅰ）弦DF不是直径，如图1，则AB⊥DF，于是PD=PF，∠GPD=∠GDP=45°
∴BP=BC=2=BO，点P与点O重合．S_△PDF=(1)/(2)×2×2=2；
（ⅱ）弦DF恰为直径，如图2，
则点P即为点A．而BC=2，BP=4，
∴BE=8，
S_△PCE=(1)/(2)×10×4=20，
∴S_△PDF=（(4)/(10)）²×20=(16)/(5)．