（2008•乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标xA，xB是关于x的方程x2-（m+2）x+n-1=0的两根．

题目详情

（2008•乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐

标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标x_A，x_B是关于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的两根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；
（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则

的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，（1分）
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．（2分）
由根与系数关系有：

xA+xB＝m+2

xA•xB＝n−1

，
解之m=-5，n=-3．（4分）

（2）如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC=2

，BC=

，（5分）
∵DE∥BC，∴

＝

，∵DE=EC，∴

＝

，
又△AED∽△ACB，有

＝

，∴

＝

=2，（6分）
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=

，
则OD=

，即D（-

，0），（7分）
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）
解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得DE＝