已知调和函数求解析函数最后一步化简是怎么化成含z的表达式的

Question

已知调和函数求解析函数最后一步化简是怎么化成含z的表达式的

Answer 1

对于这个问题的不同回答,可能是“见智见仁,各有千秋”.
因为个人认为要将满足柯西黎曼条件的一组共轭调和函数u(x,y)和v(x,y)构成的解析函数u(x,y)+iv(x,y)写成f(z)的形式,主要考经验.
而经验的来源,老师只能是一个起始的启发与提示,归根结底要靠自己的积累和总结.
多项式问题属于比较基本的,可能还轻易能讲明白,而有理函数虽然也很初等,但是要讲清楚就费劲了,而无理函数可能更困难.
【例一】 u=8y-2x^3+6xy^2,[可以求得v=-8x-6(x^2)y+2y^3],我们可以只看u.
看到一次式y,就应该联系到一次函数az,由于az=ax+iay,所以通过比较可得 a=-8i,
我们看到三次式-2x^3,就应该联系到三次函数bz^3,由于bz^3=bx^3+i3b(x^2)y-3bx(y^2)-ib(y^3),所以通过比较可得 b=-2,
那么f(z)=-8iz-2z^3.
【例二】 u=x+3y-2x^2-2xy+2y^2,[可以求得v=y-3x-x^2-4xy+y^2,我们可以只看u.
我们很容易按上述方法确定出 f(z) 里有z-2z^2的项,但是u比Re(z-2z^2)
多出了 3y-2xy,我们继续按上述方法确定出 f(z) 里有 az+bz^2,并确定出,a=-3i,b=-i,
最后可以得到 f(z)=(1-3i)z-(2+i)z^2.
【虽然只看 u 容易讲得明白,但是事实上,综合考虑 v 更能事半功倍】.