在△ABC中，∠A=45°，AB=7，AC=42，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点．求△DEF的最小周长．

Question

在△ABC中，∠A=45°，AB=7，AC=4√(2)，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点．求△DEF的最小周长．

Answer 1

过B点作BM⊥AC于M，
∵∠A=45°，
∴AM=BM=(7√(2))/(2)，
∵AC=4√(2)，
∴CM=AC-AM=(√(2))/(2)，
∴BC=√(BM2+CM2)=5，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点时，E点关于AB的对称点E′，关于AC的对称点E″和D、F在一条直线上，△DEF有最小周长，
∴△DEF的最小周长=DE+EF+FD=(1)/(2)（AB+BC+CA）=(1)/(2)（7+5+4√(2)）=6+2√(2)．