如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A．5π6B．2π3C．πD．7π6

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为√(3)，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（　　）

A．(5π)/(6)
B．(2π)/(3)
C．π
D．(7π)/(6)

Answer 1

如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA₁=√(3)，
则∠A₁AE=(π)/(6)．同理∠BAF=(π)/(6)，所以∠EAF=(π)/(6)，
故弧EF的长为：2×(π)/(6)=(π)/(3)，
而这样的弧共有三条．
在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=(π)/(2)，
所以弧FG的长为：1×(π)/(2)=(π)/(2)．
于是，所得的曲线长为：(π)/(3)+(π)/(2)=(5π)/(6)．
故选：A．