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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A.5π6B.2π3C.πD.7π6
题目详情
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )
A.
B.
C.π
D.
3 |
A.
5π |
6 |
B.
2π |
3 |
C.π
D.
7π |
6 |
▼优质解答
答案和解析
如图,球面与正方体的六个面都相交,
所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;
另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.
在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=
,
则∠A1AE=
.同理∠BAF=
,所以∠EAF=
,
故弧EF的长为:2×
=
,
而这样的弧共有三条.
在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,
此时,小圆的圆心为B,半径为1,∠FBG=
,
所以弧FG的长为:1×
=
.
于是,所得的曲线长为:
+
=
.
故选:A.
所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;
另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.
在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=
3 |
则∠A1AE=
π |
6 |
π |
6 |
π |
6 |
故弧EF的长为:2×
π |
6 |
π |
3 |
而这样的弧共有三条.
在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,
此时,小圆的圆心为B,半径为1,∠FBG=
π |
2 |
所以弧FG的长为:1×
π |
2 |
π |
2 |
于是,所得的曲线长为:
π |
3 |
π |
2 |
5π |
6 |
故选:A.
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