作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值．

Question

作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值．

Answer 1

下图所示为球与圆锥的一个切面．设圆锥底面半径为R，圆锥高位h．

则显然有：h＞2r；
易知：(r)/(h−r)=(R)/(√(R2+h2))
因此有：R=(rh)/(√(h2−2rh))
圆锥的体积为：V=(1)/(3)πR2h=(1)/(3)π(r2h2)/(h2−2rh)h
=(1)/(3)π(r2h2)/(h−2r)
因此：V'=（(1)/(3)π(r2h2)/(h−2r)）'=(1)/(3)π(2hr2(h−2r)−r2h2)/((h−2r)2)
=(1)/(3)π(h2r2−4hr3)/((h−2r)2)
令V'=0，得：
V'=(1)/(3)π(h2r2−4hr3)/((h−2r)2)=0
解得：h=0；或者h=4r
又由于：h＞2r
故：h=4r，h=0应该舍弃．
又由于，h=4r是在定义域内唯一的驻点，因此该驻点对应的V值即为最小值．
此时：V=(1)/(3)π(r2h2)/(h−2r)=(1)/(3)π(r2(4r)2)/(4r−2r)=(8)/(3)πr3．
综上：当h=4r时，体积V取得最小值，最小值为(8)/(3)πr3．