如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；（3

Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．

Answer 1

（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，
∴BA=BP，
∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠PAC=30°，∠ACP=75°，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠DPC=15°；
（2）如图2，结论：∠DPC=75°，
证明：过点A作AE⊥BP于E，
∵∠1=30°，∠BAE=60°，
∴∠2=15°，又∠3=90°-75°=15°，
∴∠APD=75°，
∴AE=AD，又AE=(1)/(2)AB=(1)/(2)AC，
∴AD=(1)/(2)AC=DC，
∴∠DPC=∠APD=75°；
（3）如图3，过点A作AE⊥BP于E．
∴∠AEB=90°，
∵∠ABP=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，
又∵BA=BP，
∴∠2=∠3=15°，
∴∠PAE=75°，
∵∠BAC=90°，
∴∠4=75°，
∴∠PAE=∠4
∵PD⊥AC于点D，
∴∠AEP=∠ADP=90°，
在△APE和△APD中，

∠AEP=∠ADP

∠PAE=∠4

PA=PA

，
∴△APE≌△APD，
∴AE=AD，
在Rt△ABE中，∠1=30°，
∴AE=(1)/(2)AB，
又∵AB=AC，
∴AE=AD(1)/(2)AB=(1)/(2)AC，
∴AD=CD，
又∵∠ADP=∠CDP=90°，
∴∠DCP=∠4=75°，
∴∠DPC=15°．