求[(1+x)^(2/x)-e^2]/x当X趋近于0时的极限,

Question

求[(1+x)^(2/x)-e^2]/x当X趋近于0时的极限,

Answer 1

先看y=(1+x)^(2/x)的导数
lny=2ln(x+1)/x
y'/y=2[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2
y'=2[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2*(1+x)^(2/x)
lim(x→0）[(1+x)^(2/x)-e^2]/x (0/0,运用洛必达法则）
=lim(x→0）2[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2*(1+x)^(2/x)
=e^2lim(x→0）2[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2 (通分）
=e^2lim(x→0）2[x-(x+1)*ln(x+1)]/[x^2*(1+x)]
=e^2lim(x→0）2[x-(x+1)*ln(x+1)]/x^2 (0/0,运用洛必达法则）
=e^2lim(x→0）[1-ln(x+1)-1]/x
=e^2lim(x→0）-ln(x+1)/x
=-e^2