设lim[(1+sin2x^2)^(1/x^2)-e^2]/x^n=a(a不等于0,x趋近于0)求n和a的值

Question

设lim [(1+sin2x^2)^(1/x^2) -e^2] /x^n =a (a不等于0,x趋近于0)求n和a的值

Answer 1

lim{ (1+sin2x^2)^(1/x^2) -e^2 } /x^n
=lim{ e^[ln(1+sin2x^2) /x^2] -e^2} /x^n
=e^2* lim{ e^【ln(1+sin2x^2)/x^2-2】 -1}/x^n
【lim ln(1+sin2x^2)/x^2-2=0 又 e^t-1~t t->0 ,等价无穷小代换】
=e^2 lim [ ln(1+sin2x^2)/x^2-2] /x^n
=e^2 lim { 【sin2x^2 -(sin2x^2)^2/2+O(x^4) 】/x^2-2] /x^n }
【泰勒展式】
=e^2 lim { 【2 -2x^2+O(x^2)-2】/x^n }
=e^2 lim { 【 -2x^2+O(x^2)】/x^n }
=a 不等于 0
所以：x^n 是x^2的同阶无穷小,n=2
a=-2e^2