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多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4,证明f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3
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多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4,证明f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3
▼优质解答
答案和解析
设:f(x)=M(x^4+x²+1)+(x³+2x²+3x+4)
因为:x^4+x²+1=(x²+1)²-x²=(x²+x+1)(x²-x+1),即:x^4+x²+1可以被x²+x+1整除
x³+2x²+3x+4=x(x²+x+1)+(x²+x+1)+(x+3),即x³+2x²+3x+4除以x²+x+1的余式是x+3
所以f(x)除以x²+x+1的余式是x+3
因为:x^4+x²+1=(x²+1)²-x²=(x²+x+1)(x²-x+1),即:x^4+x²+1可以被x²+x+1整除
x³+2x²+3x+4=x(x²+x+1)+(x²+x+1)+(x+3),即x³+2x²+3x+4除以x²+x+1的余式是x+3
所以f(x)除以x²+x+1的余式是x+3
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