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四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D点旋转,该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N.交直线AB于E、F两点,(1)当E、F分别在边AB上时(
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四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D点旋转,该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N.交直线AB于E、F两点,
(1)当E、F分别在边AB上时(如图1),求证:BM+AN=MN;
(2)当E、F分别在边BA的延长线上时如图2,求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系______;
(3)在(1)的条件下,若AC=5,AE=1,求BM的长.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534604020-4328.jpg)
(1)当E、F分别在边AB上时(如图1),求证:BM+AN=MN;
(2)当E、F分别在边BA的延长线上时如图2,求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系______;
(3)在(1)的条件下,若AC=5,AE=1,求BM的长.
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,
则DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠QDN=∠MDN=60°,
∵在△MND和△QND中,
,
∴△MND≌△QND(SAS),
∴MN=QN,
∵QN=AQ+AN=BM+AN,
∴BM+AN=MN;
(2)MN+AN=BM.
理由如下:如图,把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,
则DN=DP,AN=BP,
∵∠DAN=∠DBP=90°,
∴点P在BM上,
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠MDP=∠MDN=60°,
∵在△MND和△MPD中,
,
∴△MND≌△MPD(SAS),
∴MN=MP,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534604020-7957.jpg)
∵BM=MP+BP,
∴MN+AN=BM;
(3)如图,过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴△BMG是等边三角形,
∴BM=MG=BG,
根据(1)△MND≌△QND可得∠QND=∠MND,
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN,
∴∠MND=∠MHN,
∴MN=MH,
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN,
即AN=GH,
∵在△ANE和△GHE中,
,
∴△ANE≌△GHE(AAS),
∴AE=EG=1,
∵AC=5,
∴AB=AC=5,
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3,
∴BM=BG=3.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534604020-1012.jpg)
则DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠QDN=∠MDN=60°,
∵在△MND和△QND中,
|
∴△MND≌△QND(SAS),
∴MN=QN,
∵QN=AQ+AN=BM+AN,
∴BM+AN=MN;
(2)MN+AN=BM.
理由如下:如图,把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,
则DN=DP,AN=BP,
∵∠DAN=∠DBP=90°,
∴点P在BM上,
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°,
∴∠MDP=∠MDN=60°,
∵在△MND和△MPD中,
|
∴△MND≌△MPD(SAS),
∴MN=MP,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534604020-7957.jpg)
∵BM=MP+BP,
∴MN+AN=BM;
(3)如图,过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴△BMG是等边三角形,
∴BM=MG=BG,
根据(1)△MND≌△QND可得∠QND=∠MND,
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN,
∴∠MND=∠MHN,
∴MN=MH,
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN,
即AN=GH,
∵在△ANE和△GHE中,
|
∴△ANE≌△GHE(AAS),
∴AE=EG=1,
∵AC=5,
∴AB=AC=5,
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3,
∴BM=BG=3.
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