设a＞1，f（t）=at-at在（-∞，+∞）内的驻点为t（a）．问a为何值时，t（a）最小？并求出最小值．

Question

设a＞1，f（t）=a^t-at在（-∞，+∞）内的驻点为t（a）．问a为何值时，t（a）最小？并求出最小值．

Answer 1

令f'（t）=a^tlna-a=0，得唯一驻点t(a)=1-(lnlna)/(lna)．
考察函数t(a)=1-(lnlna)/(lna)在a＞1时的最小值．
令t′(a)=-((1)/(a)-(1)/(a)lnlna)/((lna)2)=-(1-lnlna)/(a(lna)2)=0，
得唯一驻点a=e^e．
当a＞e^e时，t'（a）＞0，函数单调递增；当a＜e^e时，t'（a）＜0，函数单调递减，因此t(ee)=1-(1)/(e)为极小值，从而是最小值．